Posts Tagged “Πιθανότητες”

800px-czechoslovak_matches.jpg

Ο μικρός Θοδωράκης, που σε λίγες μέρες έχει γενέθλια και κλείνει τον πρώτο χρόνο της ζωής του, παίζει με ένα κουτί σπίρτα. Κάποια στιγμή κρατάει στα χέρια του ένα μεγάλο σπίρτο (μη φανταστείτε κάτι τρελό, μεγάλο για σπίρτο εννοούμε) και όπως παίζει το σπάει τυχαία σε δύο σημεία.

Στη συνέχεια παίρνει τα τρία κομμάτια που προέκυψαν και παίζοντας φτιάχνει ένα τρίγωνο (τσακάλι στη γεωμετρία, από το θείο του πήρε).

Ποια η πιθανότητα να γίνει κάτι τέτοιο;

Οκ θεωρούμε ότι έσπασε το σπίρτο σε δύο τυχαία σημεία και ότι αν γίνεται να φτιαχτεί τρίγωνο ο Θοδωράκης θα το φτιάξει….

Τον γρίφο μας έστειλε ο χρήστης PerMike
…η διατύπωση δική μας.

ΥΓ – Γενικά όπως έχετε ίσως παρατηρήσει το YouReka έχει μείνει λίγο πίσω τους τελευταίους μήνες…. πχ ο συγκεκριμένος γρίφος στάλθηκε στις αρχές Σεπτέμβρη, λυπούμαστε για τις όποιες καθυστερήσεις και ελπίζουμε να επανακάμψουμε πλήρως σύντομα!

caravaggioΟ παρακάτω γρίφος έχει μια απάντηση που ειλικρινά «αντιβαίνει» με την κοινή λογική. Ένα παιχνίδι θεωρείται συμφέρον αν τα λεφτά που ποντάρεις είναι λιγότερα από το αναμενόμενο κέρδος. Πχ στη ρουλέτα ποντάροντας x€ στο κόκκινο έχουμε 1/2 πιθανότητα να κερδίσουμε 2x€ άρα αναμενόμενο κέρδος 1/2 * 2x = x€ οπότε το στοίχημα είναι δίκαιο (για την ακρίβεια βέβαια η πιθανότητα να έρθει κόκκινο στη ρουλέτα δεν είναι 1/2 αλλά 18/37 ή 18/39 – ανάλογα με το πόσα zero έχει η ρουλέτα – άρα το αναμενόμενο κέρδος είναι λιγότερο από 2x€). Ανάλογα πάνε όλες οι αποδόσεις….

Ένα καζίνο θέλει να βάλει το εξής παιχνίδι στο πρόγραμμα. Ο παίκτης πληρώνει μια στάνταρ συμμετοχή για να ρίξει ένα κέρμα μέχρι να έρθει κορώνα. Αν οι ρίψεις που χρειάστηκε μέχρι να φέρει πρώτη φορά κορώνα είναι n ο παίκτης κερδίζει 2n-2€ (ok αν έρθει κορώνα με την πρώτη ή με τη δεύτερη δεν κερδίζεις τίποτα).

  • Μέχρι πόσα θα δίνατε για να παίξετε το παιχνίδι;
  • Μέχρι πόσα θα έπρεπε να είστε διαθετιμένοι να δώσετε με βάση την αναμενόμενη απόδοση του παιχνιδιού;

Ενώ ο shortmanikos είναι ακόμα Καστελλόριζο χωρίς internet – μόνο κάτι λίγο στο σχολείο – και ακούει χαλαρός μουσικούλα η υπόλοιπη παρέα του YouReka έχει μαζευτεί σε ένα φιλικό σπίτι για μια φιλική 21, σύνολο είναι 6 άτομα… Κάθονται λοιπόν σε ένα κύκλο και παιρνει την τράπουλα ο johnny5, ανακατεύει, κόβει η Ειρήνη που κάθεται στα αριστερά του και για να δουν ποιος θα κάνει πρώτος μάνα λέει ο johnny5 ότι θα ξεκινήσει να μοιράζει ένα ένα τα φύλλα και σε όποιον πέσει πρώτα ο άσσος μπαστούνι θα κάνει αυτός μάνα. Με το που σκάει το πρώτο φύλλο στον mouridi που κάθονταν στα δεξιά του… είναι ο άσσος μπαστούνι! Έλα μου όμως που ο Κώστας (αιώνιος φοιτητής Μαθηματικού) παραπονιέται ότι αδικήθηκε. Ο Κώστας λέει ότι αφού ο mouridis παίρνει πρώτος χαρτί έχει περισσότερες πιθανότητες επιτυχίας, αφού μπορεί (όπως και έγινε) να του ‘ρθει ο άσσος μπαστούνι με την πρώτη. Η Μάντυ απ’ την άλλη του λέει ότι δεν ισχύει αυτό, αφού αν δεν του έρθει με την πρώτη (που είναι το πιο πιθανό) αυξάνονται οι πιθανότητες των υπολοίπων άρα είναι όλοι στα ίδια. Κάπου εκεί πετάγεται ο artnoage (αιώνιος μεταπτυχιακός μαθηματικού) και τους εξηγεί πολύ απλά το τι γίνεται, και αφού δώσουν το OK ο johnny5 με την Ειρήνη το παιχνίδι ξεκινάει…

-Πως τους το εξήγησε επί τόπου με απλό τρόπο ο artnoage;
-Με πόσες τράπουλες παίζουν τα παιδιά;
-Ποιο συγκρότημα ακούει ο shortmanikos;

kastellorizo_panorama_1.jpgΟ Γιώργος με το Δημήτρη επιστρέφουν στο Καστελλόριζο με τον Πρωτέα και μια και το ταξίδι είναι κοντά στο 5ωρο το έχουν ρίξει στο ταβλάκι… Για να έχει λίγο ενδιαφέρον παίζουν και ένα στοιχηματάκι 50€, παίζουν γενικά παρτίδες στις 7 νίκες και η συμφωνία είναι όποιος πάρει 10 παρτίδες κερδίζει. Μετά από ώρες παιχνιδιού ο Γιώργος είναι πίσω με 8 – 5 (στις παρτίδες). Πάνω που ετοιμάζονται να ξεκινήσουν την 14η παρτίδα διαπιστώνουν ότι η ώρα έχει περάσει και πιάνουν λιμάνι. Αφήνουν λοιπόν το τάβλι και αποβιβάζονται. Έλα όμως που τώρα πρέπει να βρουν ένα δίκαιο τρόπο για να μοιράσουν τα λεφτά (σύνολο 100€) που είχαν στοιχηματίσει!
Μπορείται να τους βοηθήσετε;

-να θεωρείσετε αρχικά δεδομένο ότι είναι ισάξιοι παίκτες άρα κάθε παρτίδα έχει πιθανότητα 1/2 να την κερδίσει ο καθένας
-προφανώς δε θα συνεχίσουν απλά να παίζουν…. θα μοιράσουν το στοίχημα…
-τι γίνεται αν οι πιθανότητες δεν είναι 1/2 και 1/2 αλλά p και 1-p;

img_3541.jpg

Ο Θοδωράκης με τον ξάδερφό του Σωτηράκη είναι ερωτευμένοι με την ίδια κοπέλα και μια που γνωρίζουν ότι δεν αξίζει να μαλώνουν οι φίλοι για τέτοια θέματα αποφασίζουν να ρίξουν ένα νόμισμα και όποιος κερδίσει…. Έλα μου όμως που το μόνο νόμισμα που έχουν στη διάθεσή τους είναι λίγο «πειραγμένο» – η πιθανότητα έρθει κορώνα είναι p > 1/2. Πως θα τα κανονίσουν τα δυο παιδιά ώστε να έχει ο καθένας τους 1/2 πιθανότητα να κερδίσει;

Αν υποθέσουμε ότι το νόμισμα είναι κανονικό αλλά λόγω παλαιότητας ο Θοδωράκης πρέπει να έχει πιθανότητα p > 1/2 πως θα το κανόνιζαν αυτό τα παιδιά;

cauteleiro.jpg

Ο ήρωας του σημερινού μας γρίφου είναι ένας πραγματικά τεμπέλης άνθρωπος (ας τον πούμε κ.Τσουγκράνα) που δουλεύει σε ένα συνοικιακό θέατρο σαν ταμίας. Αυτό τον καιρό ανεβαίνει μια παράσταση που έχει εισιτήριο 5€. Ο κ.Τσουγκράνας επειδή βαριότανε δεν πήγε να κάνει καθόλου ψιλά (5€) οπότε ξεκινά με άδειο ταμείο. Αν στην ουρά υπάρχουν 2ν άτομα από τα οποία οι μισοί έχουν 5€ ακριβώς ενώ οι άλλοι μισοί έχουν ένα 10€ (ένα χαρτονόμισμα των 10€ – όχι σε ψιλά) ποια είναι η πιθανότητα να μην συναντήσει ο κ.Τσουγκράνας πρόβλημα με τα ρέστα;

Προφανώς θεωρούμε ότι τα 2ν άτομα είναι τοποθετημένα με τυχαία σειρά – άσχετα απ’ το αν έχουν ή όχι ακριβώς τα λεφτά για το εισιτήριο.