Πολλές φορές ακούμε πως τα μαθηματικά είναι άχρηστα στην καθημερινή μας ζωή, ωστόσο η δημιουργία των μαθηματικών προήλθε από τις καθημερινές ανάγκες του ανθρώπου και οι ίδιες ανάγκες μας ωθούν σε αυτά. Στο γρίφο αυτόν θα βοηθήσουμε ένα ράπτη να φτιάξει ένα κινέζικο καπέλο. Φανταστείτε ότι έχουμε ένα κυκλικό πανί με ακτίνα 1m (για ευκολία) και ότι θέλουμε να κόψουμε ένα μέρος του έτσι ώστε να φτιάξουμε το κωνικό κινέζικο καπέλο. Αν φ είναι η επίκεντρη γωνία του κυκλικού τομέα το οποίο θα αφαιρέσουμε, τότε ποια θα είναι η τιμή της φ ώστε το καπέλο να αποκτήσει το μέγιστο όγκο.

Διευκρίνιση : Αν από ένα κυκλικό δίσκο αφαιρέσουμε ένα κυκλικό τομέα  που αντιστοιχεί σε μια επίκεντρη γωνία και ταυτίσουμε τις πλευρές της επίκεντρης γωνίας τότε δημιουργείται ένας κώνος.

Πριν κάμποσα χρόνια οι Αμερικάνοι προσπαθούσαν να κατασκευάσουν το πεντάγωνο (κανονικό πεντάγωνο) – κάστρο του κακού. Ο αρχιτέκτονας τους έπρεπε να υπολογίσει το ύψος του πενταγώνου γνωρίζοντας μόνο την πλευρά του, πράγμα που απαιτούσε γνώσεις τριγωνομετρίας και είναι γνωστό ότι οι Αμερικάνοι δεν ξέρουν γρι από τριγωνομετρία. Τελικά κατάφεραν να το κατασκευάσουν χωρίς να χρησιμοποιήσουν τριγωνομετρικούς αριθμούς τύπου (ημθ,συνθ,εφθ,…)

Μπορείτε να βρείτε τη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε?

*όπου ύψος του πενταγώνου ορίζουμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από την κορυφή του πενταγώνου προς την απέναντι πλευρά του.

Ο κυρ-Κώστας, χρυσοχόος της παλιάς σχολής, κατασκεύασε ένα δαχτυλίδι με ένα αρκετά περίεργο τρόπο. Αρχικά πήρε μια σφαίρα χρυσού. Μετά, έκανε μια τρύπα με το τρυπάνι του στην μέση της σφαίρας (όπως φαίνεται στο σχήμα) και έτσι κατασκεύασε ένα απλό δαχτυλίδι (βέρα).

Μη διαθέτοντας κανένα όργανο μέτρησης εκτός από ένα παχύμετρο, μέτρησε το πάχος του δαχτυλιδιού (το ύψος της τρύπας) και το βρήκε 6mm. Με σκοπό να υπολογίσει τελικά την τιμή του δαχτυλιδιού, πρέπει προηγούμενα να υπολογίσει το βάρος, για το οποίο, αφού δεν διαθέτει ζυγαριά, πρέπει να υπολογίσει πρώτα τον όγκο.

Ο κυρ-Κώστας, κάθισε για λίγο σκεπτικός και τελικά, χωρίς να κάνει περίπλοκους υπολογισμούς στο χαρτί αλλά μόνο 4-5 πολλαπλασιασμούς αριθμών, βρήκε τον όγκο του δαχτυλιδιού.

Μπορείτε και εσείς να βρείτε τον όγκο του δαχτυλιδιού, χωρίς περίπλοκους γεωμετρικούς υπολογισμούς;

Διευκρίνηση: Η λύση θα πρέπει να αποτελείται από την ανάλυση του σκεπτικού σας και λίγες πράξεις που συνολικά δεν θα ξεπερνούν τις 1-2 γραμμές. Λύσεις με ολοκληρώματα ή αράδες αλγεβρικών υπολογισμών δεν θα γίνονται δεκτές.

Επειδή βλέπω ότι ο γρίφος έχει μπερδέψει πολλούς παραθέτω τις παρακάτω διευκρινήσεις:

• Το μόνο γνωστό μέγεθος είναι το “πάχος” του δαχτυλιδιού που είναι 6mm
• Ο κυρ-Κώστας κατέληξε σε καθαρό αριθμό και όχι σε συνάρτηση κάποιου άλλου άγνωστου μεγέθους
• Τύποι υπολογισμού εμβαδών και όγκων που είναι γνωστοί από τα σχολικά βιβλία (εμβαδό τριγώνου, παραλληλογράμμου, τραπεζίου κλπ καθώς και όγκος παραλληλεπιπέδου, σφαίρας, κυλίνδρου, κώνου, πυραμίδας κλπ) δεν θεωρούνται περίπλοκοι γεωμετρικοί ή αλγεβρικοί υπολογισμοί, θεωρούνται ότι είναι γνωστοί στον κυρ-Κώστα και συνεπώς η πιθανή χρήση τους στην λύση θα γίνεται δεκτή. (Για παράδειγμα η χρήση του τύπου υπολογισμού όγκου κυλίνδρου V_κυλ=πr²h θεωρείται αποδεκτή.)

Ο Γιάννης έχει πρόβλημα. Βρίσκεται στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης με ακτίνα 100m και στην περίμετρό της λίμνης βρίσκεται ένα τέρας που κατασπαράζει τους κολυμβητές. Τα καλά νέα για τον Γιάννη είναι ότι το τέρας δεν μπορεί να κολυμπήσει και συνεπώς, προς το παρόν τουλάχιστον, ο Γιάννης είναι ασφαλής.

Ωστόσο, δεν μπορεί να μείνει για πάντα μέσα στην λίμνη οπότε πρέπει κάπως να δραπετεύσει. Το πρόβλημα είναι ότι ενώ στην στεριά ο Γιάννης τρέχει πολύ πιο γρήγορα από το τέρας, στο νερό μπορεί να κολυμπήσει με ταχύτητα μόλις 1m/sec ενώ το τέρας μπορεί να περπατάει γύρω από την λίμνη με 4m/sec.

Υπάρχει τρόπος να φτάσει ο Γιάννης στην στεριά χωρίς να τον προλάβει το τέρας;
Αν υπάρχει περιγράψτε την πορεία του. Αν δεν υπάρχει περιγράψτε την στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει το τέρας για να τον πιάσει σίγουρα.

Διευκρινήσεις:

• Η λίμνη είναι τέλειος κύκλος
• Το τέρας δεν μπορεί να μπει στο νερό ή να “πηδήξει” πάνω στο Γιάννη οσοδήποτε κοντά και αν βρίσκεται σε αυτόν, οπότε ο μόνος τρόπος για να τον πιάσει είναι να βρεθούν ταυτόχρονα στο ίδιο σημείο της περιμέτρου της λίμνης.

Η ομάδα του YouReka έχει ένα εξοχικό στο Πευκοχώρι και έχουν πάει εκεί για το σαββατοκύριακο. Καθώς κάθονται στο μπαλκόνι και πίνουν την πρωινή φραπεδιά τους παρατηρούν τον κισσό που έχει φυτρώσει στην αυλή.

Ο κισσός αναρριχάται γύρω από ένα κυλινδρικό δοκάρι ύψους 32 μέτρων και περιφέρειας (μήκος κύκλου) 15 μέτρων. Η “τροχιά” του είναι ελικοειδής.

Αν ο κισσός με μία πλήρη περιστροφή γύρω από το δοκάρι φτάνει σε ύψος 8 μέτρων ποιο θα είναι το συνολικό του μήκος όταν θα έχει όταν φτάσει στην κορυφή του δοκαριού;

Σε ένα τετράγωνο δωμάτιο ΑΒΓΔ υπάρχει μια κάμερα στην κορυφή Α. Η επαγγελματίας κλέφτρα Κούλα (το χρυσό χέρι) ζητά τη βοήθεια του μαθηματικού Γιώργου ( ο Κοντομάνικος) για να της υπολογίσει τη γωνία θέασης της κάμερας δεδομένου ότι
α) το τετράγωνο είναι πλευράς α
β) το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ=ΔΚ+ΛΒ όπου το Κ είναι σημείο της ΔΓ , Λ είναι σημείο της ΒΓ και η γωνία που μας ενδιαφέρει είναι η ΚΑΛ

Ποια είναι η απάντηση του Γιώργου ?